Analyse Non Linéaire et Optimisation

Mots-Clés : Méthodes topologiques et variationnelles (F. Nacry, M. Sofonea) ; Inégalités variationnelles et calcul des variations (F. Nacry, M. Sofonea) ; Optimisation discrète et continue (F. Nacry, M. Sofonea, A. Adjé) ; Mathématiques tropicales (W. Briec) ; Contrôle optimal (F. Nacry, M. Sofonea) ; Problèmes bien posés (M. Sofonea) ;

Les problèmes non-linéaires abondent en mécanique, en physique, en économie, ainsi que dans la vie de tous les jours.  Ils sont variés, ont une structure complexe et leur étude se fait à l’aide d’outils mathématiques spécifiques, nécessitant des compétences variées, allant de l'analyse convexe, à l'analyse non-régulière et l'analyse multivoque, en passant par d’analyse fonctionnelle et la théorie de la mesure.  L’objectif de cette thématique est d’apporter une contribution théorique au développement de ces outils et d’illustrer leurs potentielles applications.  Pour ce faire, nous nous plaçons (en général) dans un cadre fonctionnel abstrait (espaces de Hilbert, de Banach, métriques, espaces vectoriels topologiques).

Nous nous intéressons à la théorie de la régularité métrique (qui représente un outil fondamental s’apparentant à la “qualification de contraintes” en optimisation) et étudions les propriétés des ensembles et fonctions non-lisses (fonctions distances, forte convexité et prox-régularité, ensembles sous-lisses et alpha-far, primal lower regularité, semiconvexité) et des “dérivées non-standard" (sous-différentiels et pentes).

Nous appliquons ces outils à l’étude de différents problèmes non-linéaires pour lesquels nous parvenons à des résultats d’existence, d’unicité et de régularité de la solution. Par exemple, nous avons considéré des inclusions et des inéquations variationnelles et hémivariationnelles associées à des opérateurs de mémoire, avec contraintes unilatérales dépendant du temps. En outre, nous avons introduit un nouveau concept de “problème bien posé” qui généralise les concepts classiques (de Tykhonov, Levitin-Polyak et Hadamard, par exemple) existant dans la littérature. Nous avons appliqué ces résultats abstraits dans l’analyse des problèmes statiques et quasi-statiques de contact avec ou sans frottement, tout en précisant leur interprétation mécanique. 

Nous considérons aussi des problèmes d’optimisation dont les contraintes sont les états atteignables d’un système dynamique en temps discret et la fonction objectif est une fonction de la variable d’état. La solution optimale dans ce contexte est un couple constitué d’un état initial et d’un entier correspondant au nombre d’itérations pour atteindre la valeur optimale. La nature du problème est en général non-convexe, d’une part par la structure des contraintes qui est l’union infinie de compacts convexes dans le meilleur des cas et, d’autre part, par la fonction objectif qui, dans de nombreux cas intéressants, est convexe mais à maximiser.  

Parmi les autres directions développées dans cette thématique, nous utilisons aussi les propriétés de la fonction distance ainsi que des arguments de dualité et de non-convexité pour aborder certains problèmes spécifiques apparaissant en économie mathématique, notamment concernant la théorie des jeux et la théorie de la production. Une partie du travail consiste à appliquer des modèles mathématiques assez classiques pour évaluer l’efficience en économie, souvent en appliquant des techniques de programmation linéaire et de recherche opérationnelle. Un second volet de cette activité consiste à étudier des structures de convexité généralisées de type Max-Times et d’analyser leurs symétrisations et les questions de séparation qui leur sont associées. Ces approches sont assez abstraites mais ont des implications sur l’évaluation en forme close des fonctions distance et permettent d’établir des résultats de dualité associés.