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Jeudi 15 novembre 2018 à 11h15
Robert Brouzet
LAMPS, Université de Perpignan Via Domitia, France
Les mathématiques sont-elles une partie de la physique ?

Résumé : Les mathématiques font-elles partie de la physique, comme l'affirmait Vladimir Arnold ou, au contraire, sont-elles « essentiellement un travail de la pure raison indépendant de toute expérience sensorielle » comme l'écrivait Alexandre Grothendieck dans son ouvrage Récoltes et semailles ? L'observation de l'histoire des mathématiques semble montrer que ces deux points de vue antagonistes sur la nature des mathématiques repèrent en fait deux tendances qui, au cours du temps, ont continuellement opéré un mouvement dialectique entre induction et déduction, concret et abstrait, physique et monde des Idées ; c'est même ce dialogue harmonieux qui a permis le développement des mathématiques telles que nous les connaissons aujourd'hui.  Peu à peu des concepts épurés se sont dégagés, souvent sur des échelles de temps longues, à partir de l'observation et de la manipulation minutieuses, patientes et acharnées d'objets initiaux concrets, c'est-à-dire issus du monde réel, de la Nature, et donc relevant de la physique. Par exemple le concept de groupe procède par abstraction du cas particulier des groupes de transformations, notamment dans le cas fini des groupes de permutation étudiés par Lagrange, Galois et Abel dans le cadre de la résolubilité par radicaux des équations algébriques ; ou encore le concept de variété différentiable généralise par abstraction la notion de courbe, de surface ou plus généralement de sous-variété, et permet une vision intrinsèque de ces objets dont la définition nécessitait jusque-là la référence à un espace ambiant dans lequel ils étaient plongés.
Pourtant, comme une sorte de revanche du concret sur l'abstrait qui, chassé par la porte, fait son retour par la fenêtre, il s'avère que dans nombre de théories mathématiques on trouve des théorèmes affirmant que l'objet abstrait qu'elles étudient peut se réaliser dans un objet concret de la théorie qui lui a servi de modèle. En d'autres termes le plus général peut être vu comme contenu dans le particulier. C'est surtout à cet aspect-là de l'opposition concret versus abstrait que nous nous intéresserons dans cet exposé qui proposera une petite promenade dans l'histoire des mathématiques.
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Mise à jour le 12 octobre 2018